martes, 16 de octubre de 2012

Aplicación de la lógica predicativa en los grafos.

Para esta entrada leí el como estaba relacionada la lógica predicativa con los grafos, y una de sus principales funciones es la fácil compresión de textos. Esto con mapas conceptuales donde cada "nodo" tiene una "etiqueta" que en cualquier caso serian las palabras claves y sus aristas para "de apoyo" que servirían para relacionar el texto. Veamos esto con un ejemplo.

Mapa conceptual sobre los animales.




Si se designa con S al mapa conceptual, cuyo concepto mas general e inclusico es "animal" y M, O, T, A, V, C, etc. a cada uno de los conceptos incluidos detro de él, entonces el que el concepto M pertenezca al conjuno S se reprenta por:

En este caso la pertenecía de un concepto al mapa conceptual depende no solo de que sea un elemento que pertenza a una clase(perro, gato, vaca) o de que sea un atributo a categoría relevante, sino que además sea a una atribución significativa relacionada, se diría de forma verdadera, con otros conceptos (cuadrúpedo, bípedo, etc.). La pertenencia del concepto entonces no depende sólo de su ubicación dentro del mapa conceptual sino del valor de “verdad” de las relaciones con otros conceptos. 

Por supuesto, lo mismo que un elemento no puede ser incluido dentro de una clase a la que no pertenece, bien sea porque no cumple las reglas o atributos que definen el concepto, tampoco en los mapas conceptuales pueden introducirse conceptos que no guarden relación con otros conceptos dentro del mapa.

Con base al mapa anterior se pueden plantear algunas proposiciones que hacen uso de cuantificadores como el "todos" y el "algunos".

Algún(os)  mamífero es(son) acuático(s) (cetáceo, ballena).
Alguno(os) ovíparo es(son) acuático(s) (pez).

Operaciones entre conceptos de un mapa.

Los mapas conceptuales son conjuntos de conceptos en los que es posible aplicar las distintas operaciones definidas entre los conjuntos. En este sentido, opereciones como la unión, la intersección, la diferencia y la inclusión pueden ser aplicadas a la compresión de los mapas conceptuales.

La unión de los conjuntos viene representada por todos los conceptos que cumplen la regla de equvalencia entre las distintas "ramas del mapa conceptual". En este caso del mapa mostrado como ejemplo, se se denotra por M todos los conceptos subordinados del concepto mamifero y por O todos los conceptos subordinados del concepto ovíparo entonces el conjunto unión A(animal) se denota por la sig. expresión:





En este caso la o no es exclusiva puesto que x es un concepto que como clase o atributo puede pertenecer o denotar solo a M, ó solo a O, o a M y a O a la vez, como ocurre con los conceptos de "amamantar" o "ser vivo", respectivamente.

La intersección I de dos conjuntos M y O es el conjuntos de los concpetos que a nivel de atributos pertenecen a denotan a ambos M y O, por ejemplo "terrestre".






Distancia de los mapas conceptuales.

La distancia en el mapa conceptual se puede definir sí para cada par de conceptos A y B se pueden asociar el numero d (A, B) en la que

d(A,B) > 0 y d(A,B) = 0 si y solo si A = B
d(A,B) = d(B,A)
d(A,B) + d(B,C) = d(A,C)

La distancia en un mapa conceptual podría representarse por el numero de conexiones validas entre los distintos conceptos del mapa y el numero de arcos(aristas) que hay entre dos conceptos cualesquiera. Para ilustrar esta afirmacion podemos respresentar el mapa conceptual mediante una matriz como la que se muestra a continuación.



Los conceptos de la columna son todos aquellos de los cuales “sale una flecha’ (conjunto de partida) y los que conforman la fila son todos aquellos a los que “llega una flecha” (conjunto de llegada). La sumatoria de las columnas nos da una idea del número de veces en que un concepto “es relacionado con” (supraordenación), mientras que la sumatoria de las filas nos da una idea del número de veces en que un concepto “se relaciona con” (subordinación).

Propiedades de los grafos y mapas conceptuales

En el caso de los mapas conceptuales si se designa con X al conjunto de conceptos
que forman el mapa y V a cualquier arco, en este caso cualquier relación entre dos
conceptos representada por una flecha o línea que los une, entonces es posible
aplicar algunas propiedades de los gratos.

Grafo simétrico: En un mapa encontramos gratos simétricos si se varía el conector
entre dos conceptos, como se muestra en la figura 4.



En este caso para cualquier par de conceptos A y M se tiene que:

Grafo transitivo: Un grafo transitivo completo esta representado por una relación de orden dentro del mapa, en este caso



Los mapas conceptuales son grafos sin loops, o gratos reflexivos, puesto que no se
encuentran arcos de la forma


Conclusión:

El hacer explícitos este tipo de formalizaciones contribuye, sobre todo en el contexto educativo, al desarrollo del pensamiento matemático y lógico de los estudiantes y a la comprensión real de los procesos implicados en la construcción de conocimiento, puesto que la elaboración de un mapa no se hace solo a partir de los fenómenos observables en si mismos sino de las relaciones y atribuciones que se establecen entre ellos, las cuales son obra del sujeto.



REFERENCIAS


UNA APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS, LA LÓGICA DE PROPOSICIONES Y LA TEORÍA DE GRAFOS AL ANÁLISIS DE MAPAS CONCEPTUALES